第５８回 さんまの会報告

第５８回さんまの会
日時：２月２８日(火)　１８：００～
内容：１．提案　　　「分数」　３年生
２．実践報告　「数と計算｣　 ６年生

１．提案　「分数」　　　　　３年生
新学習指導要領では、分数を２年生から扱うことになりました。おりがみなどの具体物を操作しながら簡単な分数について知ることに始まり、６年生まで段階的に扱っていきます。その学年での学習をきちんと身に付けることで、次の学年の学習に生かされます。系統立っているので、既習を生かして問題解決学習する内容にもなると思います。
本提案では、３年生の分数指導で大切にしたいこととして以下の３点を上げ、具体的に２つの実践報告が紹介されました。
①分数のしくみをしっかり理解する。
②量分数と分割分数の違いを知る。
③単位分数をもとに考える。
【実践報告①】では、各班に配布したリボンを４分の１ずつ切り分けて、隣の班と長さを比べることから始まりました。同じ４分の１に切り分けたのに、リボンの長さが違っています。その理由を考えさせる授業です。各班に違う長さのリボンを配られているからなのですが、子どもは同じ長さが配られていると思っているので驚きます。分数は量を表すだけでなく、全体をいくつかに分けたうちのいくつ分という表し方もできることを、算数的活動で体験的に学ぶことができました。
本単元は、１ｍや１Ｌのはしたの数を表すのに分数を使うことから学びはじめます。量分数です。本実践報告は、その３時間目で、あるものを１と見てそれをいくつかに分けたうちのいくつ分とする分割分数です。量分数と分割分数の意味理解を深めることにつながりました。
【実践報告２】は、単元末で扱ったパターンブロックを使った分数遊びです。黄色(六角形)１枚を１エビ(子どもの考えた単位)としてジャンケンゲームを行い、パターンブロックを交換します。ゲーム後に手元にあるパターンブロックの点数を数えることで、単位分数のいくつ分で表せることを練習したり、異分母分数の大きさ比べや同値分数の意味に触れたりすることができました。
この後の学年では、分数を割合と見ることなどを学びます。子どもの思考に沿うためにも、分数の様々な意味や表し方があることを教師が理解していることは、大切だと改めて考えることができました。

２．実践報告　「数と計算」　 ６年生
本実践報告は、小数でも分数でも表せない数（無理数）があることを理解するために、既習事項を生かして正方形の面積から１辺の長さを求める方法を考えさせる授業です。なお、小学校では円周率が無理数に当たります。
本時では、面積２㎠の正方形の１辺の長さを求めることを問題にしました。子どもは、既習事項の正方形の面積公式(一辺)×(一辺)を生かして、数を当てはめて求めていきました。面積が１㎠と４㎠のとき、一辺の長さは１㎝と２㎝になることから、面積２㎠で当てはめる数の範囲をおおまかに推測しました。そして、より正確な数値に近づけようと、子どもは熱心に計算しました。
中学校では平方根(√)を学んで表すことができるようになりますが、小学校でも教材を通して平方根や無理数の意味理解に迫ることができると考えることができました。

第５７回 さんまの会報告

第５７回さんまの会
日時：１月２４日(火)　１８：００～
内容：１．提案　　　「魔法の行列」　５年生
２．実践報告　「数量関係　～｢比｣の指導で帰納と演繹～｣　 ６年生

１．提案　「魔法の行列」　　　　　５年生
わからなかったことがわかるようになると楽しい。できなかったことができるようになるとうれしい。知らなかったことを知るとおもしろい。「学ぶ」ことは、このように楽しく、うれしく、おもしろいものであり、その過程で試行錯誤して数学的な思考力が育まれます。
本提案は、教師のこのような思いをもって産み出された授業実践です。
右の「魔法の行列」から、以下のようにして４つの数を選びます。
①四行四列の表から好きな数を１つ選んで○を付ける。
②選んだ数と同じ行と列(上下左右)の数を消す。
③消されなかった数の１つにまた○を付け、②の操作を繰り返す。
④４つの数に○がつくまで続ける。
⑤○を付けた４つの数をたす。
このとき、友達とは選んだ数字が違うのに、それらの和はいつも３４になります。「なぜ３４になるのだろう」という問いが生まれ、解決の試行錯誤が始まります。４つの数の和が３４になることを帰納的に発見し、演繹的に確かめることで、論理的思考力や表や式を利用したわかりやすい表現力が育てられます。
この数表は「加算表」といい、数の見方やきまりを発見する学習に有効です。数表を横に見ていくと１ずつ増え、縦に見ていくと４ずつ増えます。このことから、右表①のように数表を見直すことができます。日頃、式は答えを求める際にあつかうことが多いですが、このように数の構成(見方)として表せることに出会うことも、学習に有効だと思います。
①のように置き換えた数表に、「魔法の行列」で○を付けた数を当てはめて式を変形すると、選んだ数字が違っていても和は３４になることが理解できます。
提案では、表を右表②のようにすることも話題になりました。このようにすると、式変形が理解しやすくなるというものでした。
さらに、「４でわったときのあまり」として見れば右表③のようになり、さらに和が等しくなることが明確になります。
たいへん興味深く、さらに可能性を感じる教材でした。

２．実践報告　「数量関係　～｢比｣の指導で帰納と演繹～｣　 ６年生
　第５学年の図形領域の算数的活動に帰納と演繹の考えが明記されたことは、新学習指導要領で注目されている点のひとつです。しかし、この単元でのみ指導されるものではなく、折にふれて経験させることが数学的思考力を育てるのに大切だと思います。
本実践報告は、第６学年「比」で、子どもの気付きから、帰納と演繹の考えにふれることのできた学習の紹介です。
「等しい比」は、前項が何倍になっているかを求め、後項にも同じ数をかけて求めます。
この等しい比を求める練習問題を解いてる最中、ある子が「比の内側と外側をかけると同じ答えになってる。」と気付きました。
「１問だけでなく他の問題でもそうなるかな？」と問い直し、他の問題でも同様に計算するようにうながしました。そして、いくつかの問題を解き、帰納的に確からしいことがわかりました。
「たまたまこの数問だけこの規則が成り立つだけかも。いつも成り立つことを説明しないといけないね。」とさらに聞きました。すると、以下のように説明する子が現れました。

２：３＝６：９　　のとき
「２：３」を「Ａ：Ｂ」とすると、「６：９」は「Ａ×３：Ｂ×３」と書けます。式にすると、
Ａ：Ｂ＝Ａ×３：Ｂ×３
内側どうし、外側どうしをかけて同じ答えになるから、
内側の積＝外側の積
Ｂ×（Ａ×３）＝Ａ×（Ｂ×３）
かけ算はかける順番を入れかえても答えは変わらないので、かっこをはずして入れかえても答えは変わらないから、
Ａ×Ｂ×３＝Ａ×Ｂ×３
内側も外側も同じ式になるから、答えは同じになります。

ここでの説明に必要な既習事項は、「式変形（４年）」や「数字を文字に置き換えること（５年）」などです。すでに明らかにされている事柄を活用して、演繹的に考え、説明できます。
内側と外側は、それぞれ内項と外項と言い、「内項の積は外項の積に等しい」という比の性質が成り立ちます。中学校では、比例式からｘを求めるとき、（内項の積）＝（外項の積）を使って解決しますが、小学校では上記のように「比の相当関係」を中心に考えさせることが大切であり、この性質を真正面から取り扱わないことになっています。
今回は、子どもが練習問題に取り組んでいる最中に発見したことなので、発展的に扱うことにしました。

第５６回 さんまの会報告

第５６回　さんまの会報告
日時：１２月１２日（月）　１８：００～
内容：１．提案　「変わり方調べ」　４年生
２．実践報告　「和について考えよう｣　６年生

１．提案　「変わり方調べ」　４年生
算数だけでなく、キャリア教育や人権教育の視点をもって学習する指導案の検討を行いました。例えば、キャリア教育で目指す能力としては、「自己表現力」「コミュニケーション能力」「生活に生かす力」などの評価の観点があります。思考力・表現力や活用力が算数でも注目されているので、キャリア教育とも通ずるところがあると考えさせられました。
算数の学習としては、「１辺が１㎝の正方形の厚紙を、１段、２段、３段･･･と階段のように並べます。段数が２０段のときの周りの長さを簡単に求める方法を考えよう。」という問題です。
この問題は、扱い方によっては、「変わり方（数量関係の関数の考え）」でも「数え方の工夫」でも解くこともできます。本時では、変わり方を調べることが目標なので、伴って変わる２つの数量の関係に着目して問題を解くように展開します。そのために、例えば、子どもが表にかき表すことに気付いて変化の様子を考えることや、１段増えると周りの長さが４㎝ずつ増える理由を図を使って理解したり説明したりすることや、段数を２０段とせず□として問題提示することなどを組み入れることとして考えられます。
子どもに身に付けさせたい力を明確にして、発問や問題の提示の仕方を工夫し、子どもの「なぜ」を引き出して、子どもが解決しようとしたり説明しようとしたりする学習展開を心がけることの大切さを改めて考えることができました。

２．実践報告　「和について考えよう｣　６年生
１～９までの数カードを縦と横の和が同じになるように十字に並べたときの数の組み合わせに着目することを通して、筋道を立てて考える態度を養うことを目標に学習します。
まずは中央の数を１枚決めるところからです。はじめは「５」を入れたとき、他の８つのマス目に残った８枚をどのように入れたらよいかを考えさせます。しばらくすると、４隅が１０になる組み合わせで入れれば、縦横の和が等しくなることに気付き、説明が始まりました。数カードの合計は４５。「５」を使ったから、４５－５＝４０。４隅に入れるので、４０÷４＝１０。つまり、残った８枚を和が１０になる組み合わせにすればいい。縦横とも、和が２５になります。
では、中央が「５」でない場合でもできるでしょうか？　「９」を入れてみよう。学んだことをさっそく生かし、「５」の場合を手掛かりに考えました。できる。今度は、他の８つのマス目に和が９になるように入れます。４５－９＝３６、３６÷４＝９。つまり、残った８枚を和が９になる組み合わせにすればいい。縦横とも、和が２７になります。
ここまでくると、子どもは他の数でもできるのだろうかと興味をもちます。いろいろ数を当てはめて調べていく過程で、できる数とできない数に出会い、その理由を探り出します。子どもが課題を見出して学び出す瞬間です。
「１～９までの合計は４５で、「（４５－中央の数）÷４」を使えば、筋道を立てて考えることができる」という考え方が使えるようになってほしいと授業者は願っています。「順序よく考えれば、答えを出すことができる。」という趣旨の学習感想がノートに書かれていれば、望む子どもの姿といえます。
また、発展として、並べ方を十字でなくＴ字やＬ字にすることも考えられます。

第５５回 さんまの会報告

第５５回　さんまの会報告
日時：１１月　７日（月）　１８：００～
内容：１．提案　「数学的な思考力･表現力の育成～『考え』を関連付ける指導の工夫～」　　３年生
　　　　２．指導案検討　「分数｣　３年生
　　　　３．実践報告　「思考力を高めることを意識した計算練習の指導、全員が主体的に参加できる、計算練習の指導」　２年生　

１．提案「数学的な思考力･表現力の育成～『考え』を関連付ける指導の工夫～」　３年生　子どもが問題解決に向けて考えたことは、言葉や数、式、図、表、グラフなどに表現されます。それら表現されたものの中にある「考え」に着目して相違点を見出し、関連付ける学習は、数学的な思考力･表現力を育成するものです。「考え」を関連付ける指導の工夫として、「表現の中にある考えに着目しやすい提示の仕方の例とその効果」「９つの価値付け」「方向付ける発問」などについて提案されました。
　具体的な指導として「かけ算の筆算（３年生）」。何十をかける問題場面では、子どもはどのような工夫をして数を数えるのかを話し合いました。
　まず、場面のとらえ方に相違点が見られ、式の表し方に「考え」をうかがうことができます。また、場面提示の仕方で、子どもの思考が方向付けられるものでもあります。
　そして、演算の処理にも「考え」がうかがえます。分配法則や結合法則、交換法則などを使って計算の仕方を工夫するところに、相違点が見られます。
　子どもと「考え」の相違点を検討することを通して、数学的な思考力･表現力に迫る手法は、興味深いものでした。

２．指導案検討　「分数｣　３年生　既習の分数をヒントに、子どもがはしたの数量の表し方を考え、見出す授業展開について考えました。
　物差しで長さを測ることが既習である３年生に、ｍの下位単位ｃｍを使わずに長さを表させるために特別な場面を設定することを考えました。つまり、架空の国の単位「プラチナ」を用いて王様の身長を測る問題場面で、元にする量を子どもが分割して分数で表すよさを感じさせます。子どもが元にする量を見破り、それを半分にすれば１／２プラチナと言ってもよいと見い出せるように展開を工夫しました。
　分数は、新指導要領で２年生から扱われることになりました。その後は、割合を表したりや数学でもつきあい続けたりするものです。子どもにとって負担のない出会い方、量分数と分割分数の扱い、その後の発展を意識した指導の仕方などについても話題になり、改めて分数を大切に扱うことの必要性を感じました。

３．実践報告「思考力を高めることを意識した計算練習の指導、全員が主体的に参加できる、計算練習の指導」　２年生　問題解決の授業の一方で、繰り返し計算練習をして確実に計算できるようにさせる授業も大切です。このとき、ドリルのような計算問題だけでなく、取り組み方を工夫して思考力を高めたり、主体的に参加したりできる実践について報告されました。
　「２ケタ×１ケタの筆算」（３年生）では、計算練習後に積が２ケタになる式と３ケタになる式を見て、なぜ２ケタ、３ケタになるのかを考えました。それを友達と説明し合うことで、主体的に学び合うことができました。すると、数値の大きさだけでなく、繰り上がりがあることで３ケタになることを発見しました。
　次に、先の学習を生かして、積が２ケタ、３ケタになるように式を作りました。条件に合う積になるにはどうしたらいいかを考える場面で、思考力が働いていました。また、作った式を互いに解き合って確認することで、主体的な学習が進みました。
　他にも、計算練習の前に「計算する前に、答えが大きいと思う問題から順番に解いてみよう。」「計算する前に、答えが同じ問題はどれか当ててみよう。」と問うことも、子どもに思考を働かせながら問題に取り組ませる工夫であると、坪田先生から話がありました。
　問題を解き終えた子から順にノートを持ってこさせて先生が丸付けすることがあります。そのような時も、「１０問分の答えを全てたした答えだけ教えて。」と言えば、並んで待つことなくすみます。もし間違えれば、子どもはどこに間違いがあるかを改めて全て計算することだけでなく、概算や一の位だけ見るなど既習を生かした工夫をするのではないでしょうか。

第５４回 さんまの会報告

第５４回　さんまの会報告
　日時：１０月　３日（月）　１８：００～
　内容：１．提案　「九九表のきまり～数の感覚を育てる指導の在り方～」４年生
　　　　　２．数量関係(関数の考え)の実践報告　｢ならべ方と組み合わせ方｣６年生
　　　　　３．話題　「分けた大きさを表そう」２年生

１．提案　「九九表のきまり～数の感覚を育てる指導の在り方～」４年生
　単元「ななめにかけて、答えが大きいのはどっち？」を通して、子どもが自ら数や式に働きかけ、いろいろな見方ができるようにして、数の感覚を豊かにすることをねらう授業についての提案です。
　素材は九九表です。一部を四角形で隠し、対角線上に対面する角の位置にある数をかけると答えが同じになります。子どもが不思議に感じるこのきまりの「なぜ？」を帰納的に説明することで、数を分解して乗法的に見ることができるようになります。例えば、右の場合、隠された一部は①②③④で、①×④＝②×③、つまり「１８

×２８＝２１×２４」になります。この左右の式の数を分解し、結合法則を使って並び替えれば、両方とも「３×４×６×７」になります。このように数を見れば、いずれの場所でも成り立つことが説明できます。
　授業では、九九表の全てでなく一部を使うことや、①×④＝②×③の説明を記号を使うことで小学生でも一般化できることなどが話題になりになりました。また、対角線上に対面する角の位置を大きな正方形や長方形にしてもきまりが成り立つかを調べたりすることも、子どもが興味をもって追究する学習につながるのではないかと、素材の可能性を考えることもできました。
　指導要領にも記されていますが、一つの数を他の数の和や差としてみることと同様に、積など他の数と関係づけてみることは重要です。いずれの学年でも、数感覚を育てる指導は心掛けていく必要があると考えることができました。

２．数量関係(関数の考え)の実践報告　「ならべ方と組み合わせ方」６年生
　「ならべ方と組み合わせ方」の学習は、起こりえる場合を順序よく整理して、落ちや重なりがないように並べて調べることが目標です。そのために、記号化して全てを並べてかいたり、樹形図を使ったり、表に表したりするなどの方法を使います。
　実践報告では、問題場面を関数的にとらえて解決した子の考え方が紹介されました。
　「４人が１列に並ぶ時の並び方は何通り」という問題で、「何かきまりがあるかな」という見方をする子がいました。「３人だと６通りで、４人だと２４通り。３人から４人に人数が増えると、６通りから２４通りの４倍になっている。だから、５人になったら５倍になるはずだ。２４×５で１２０通りある。」というものです。「どうしてそのきまりが正しいと言えるのか？」と教師が問うと、きまりを使ってよいというには説得力に欠けることに気付き、さらに考え出しました。「数は増やすだけでなく、減ることも考えられるよ。」と伝えたところ、１人だったら１通り、２人だったら２通りだと導き、これまでの数を整理して並べてみると、見事にきまり通りに数が変わっていくことを発見しました。その後、さらに人数を１４人まで増やして計算し、「もう計算機じゃ枠からはみ出して計算できなかったよ。」「こんなにあるんだ。」と驚いていました。
　「ならべ方と組み合わせ方」でも問題場面を関数的にとらえて、きまりを使っても解くことが可能であることを、この子の説明を聞いて他の子も理解できました。今回は偶発的に関数的に見て解決する子が現れたので、関数の考えで解く並び方を学ぶことができました。今後は、教師の意図的な発問や手だてでこのような見方を育てることが課題です。

３．話題　「分けた大きさを表そう」２年生
　２年生で簡単な分数を学習します。ここでは、折り紙やロープなどの具体物を半分にすると、元の大きさの１／２の大きさができ、さらに半分にすると、元の大きさの１／４の大きさができるということを学びます。
　分数の意味や表し方については、第３学年から本格的に指導しますが、第２学年では分数について理解する上で基盤となる素地的な学習を行い、分数の意味を実践的に理解できるようにするのがねらいです。
　話題では、「元にする大きさが変わると、同じ１／２でも大きさが変わることを知る」ための指導について考えました。単元の最後に、大きさの異なる用紙を使って１／２をつくると、できる大きさが違うことに出会うことで、元の大きさが大切であることを理解するものです。子どもが意識していなかったことを子どもが意識することで、多面的な見方や理解が一層確かになるのではないかと考えることができました。

第５３回 さんまの会報告

第５３回　さんまの会報告
　日時：　９月１２日（月）　１８：００～
　内容：①　６年生「反比例」
　　　　②　「数量関係（関数の考え）について」

提案①　６年生「反比例」
　面積一定(24㎠)の長方形の縦と横の長さを、作図や表、式などで調べる算数的活動を通して、伴って変わる二つの数量の関係を考えたり、反比例の意味を理解したりする授業についての指導案検討を行いました。意欲や学力に差のある学級で全ての子どもが取り組みやすくするために、作図を取り入れたり、具体物の作図を利用することで表や式に表しやすくしたり、反比例のグラフにつなげたりする展開を検討しました。新指導要領で中学校から移行された反比例の学習を、「数学的な思考力・表現力を育てる指導法の工夫（算数的活動を通して）」に照らして考え、意見交換しました。
　反比例の学習材として、リットルマスに水を入れ傾ける素材を坪田先生に紹介してもらいました。マスを傾けていくと左側と右側の深さが和一定の関係で変化するが、マスの底に水の表面がうつると、底の長さと一方の側面が積一定の関係になるというおもしろいものでした。きっと、子どもも驚きをもって学べると思います。

提案②　「数量関係（関数の考え）について」
　この夏の日数教で、さんまの会は「関数の考えを育てる継続的指導」について発表しました。発表当日の質疑などの報告や、来年度に向けてこれからの取り組みについて話し合いました。今後も「数量関係（関数の考え）」についての研究に取り組み、発表に臨みたいと考えています。

　以上の提案の他、「分けた大きさを表そう(分数)」(２年生)と「マッチ棒問題の平面版と立体版」についても話題になりました。
　２年生で学習する簡単な分数は、折り紙などを折って１／２や１／４を知る事です。この学習の視点を変えて、もとにする大きさを変えて（使用する折り紙の大きさを変えるなどして）１／２を比べたとき、同じ１／２なのに大きさが違う事を子どもはどのように理解して説明するかを検討しました。
　マッチ棒問題では、マッチ棒の数え方をいろいろな方法で考え、式に表すなどの解き方を考えました。学年に応じた解法ができる魅力を感じる素材でした。平面から立体にして考えるとさらに複雑になるなど、発展的に扱える素材でもありました。

第５２回 さんまの会報告

第５２回　さんまの会　報告
　日時：　７月１１日（月）　１８：００～
　内容：①４年生「計算のきまり」
　　　　 ②１年生「たしざんとひきざん」

提案①　４年生「計算のきまり」

　ドットの数の求め方を、まとめたり移動させたりするなど工夫して考え、ひとつの式に表すことをねらいます。「式で表すこと」と「式を読むこと」を通して、数学的な思考力・表現力を育てるためには、どのような問題をどのように提示するのがよいかなどを考えました。問題の示し方によって、子どもの思考は変わってきます。例えば、順に数が増えていくように提示すれば、関数の考えを導くことができそうです。

　話し合いの中、右のような図を示して「ぼうの数を計算で求めよう」と問うたとき、子どもはどのような式に表すかという話題が、坪田先生から出されました。みなさんなら、どのように式に表しますか？　参加者が取り組んでみましたが、多様な考えができる、魅力的な問題でした。

提案②　１年生「たしざんとひきざん」
　教師道場での授業公開の実践報告です。

　　　シュークリームとドーナツを買いに行きます。シュークリ

        ームを４個買います。ドーナツはシュークリームより６個

        多く買います。ドーナツは何個買えばよいでしょう。

　このような問題場面から、４＋６＝１０の立式はできます。しかし、１年生がそれぞれの数は何を表しているのかを理解し、説明するのは難しいものです。「４」がシュークリームを表しているのであれば、和の「１０」は何の数でしょうか？　この場合、「４」は「シュークリームと同じ数のドーナツの数」を表しているのですが、このことをきちんと理解して立式していないのであれば、単にある数を並べているだけになってしまいます。今後の学習でも「式に表す・式を読む」ことを扱いますが、１年生のこのような場面から積み上げていくことで、確かな力になって身に付くのではないかと考えることができました。